根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，前夫去世后其债务的处理方式如下：
遗产清偿
如果前夫生前欠下的债务属于个人债务，那么应用其遗产进行清偿。
遗产分割前，应先清偿被继承人的税款和债务，但需为缺乏劳动能力且无生活来源的继承人保留必要的遗产。
遗产分割后，继承人需在所得遗产实际价值范围内清偿被继承人的税款和债务。
共同债务
如果债务是夫妻共同债务，即使前夫去世，前妻仍需承担连带清偿责任。
前妻清偿后，可向其他共同债务人追偿其应承担的部分。
个人债务
如果债务是前夫的个人债务，且无遗产或遗产不足以清偿债务，则该债务可能因继承人的放弃继承而消亡。
继承人可以选择自愿偿还超出遗产实际价值部分的债务，但这不是法律义务。
处理此类问题时，应考虑债务的性质、遗产的状况以及继承人的意愿。如果需要法律帮助，建议咨询专业律师获取具体指导