信用卡逾期通常不会直接导致公安机关抓捕持卡人，因为大多数情况下，逾期属于民事纠纷，需要通过民事诉讼程序解决。只有在信用卡逾期行为涉嫌信用卡诈骗罪时，公安机关才会介入，并由检察院出具逮捕证，由公安局负责实施抓捕。
信用卡逾期后，银行通常会先进行催收，如果持卡人逾期超过一定期限（如90天）并且银行多次催收无果，银行可能会向人民法院提起民事诉讼。如果法院审理后持卡人仍未归还欠款，案件可能升级为信用卡诈骗，此时公安机关将立案侦查。在收集到足够的证据后，如果证实持卡人存在信用卡诈骗行为，公安机关会向检察院申请逮捕，并在检察院批准后实施抓捕。
需要注意的是，公安机关在逮捕嫌疑人之前必须遵守法律程序，包括审查逮捕条件和向检察机关提请逮捕，并获得批准后才能实施逮捕。