天门湖公租房的申请流程如下：
申请
申请人向户籍所在地社区提出书面申请，填写《天门市公共租赁住房申请表》。
提交以下材料：
家庭实际居住人口的身份证明和户籍证明；
家庭成员工作单位及收入证明；
住房情况证明（现住房产权情况、房屋状况以及租赁情况）；
其他相关证明材料。
初审
社区收到申请材料后，对家庭人口、住房状况、收入等进行初审认定，并签署审查意见。
对初审合格的，在申请人所在社区或现居住地进行公示，征求群众意见，公示期7天。
复审
办事处对申请人材料进行复审，复审合格的，签署审查意见后将材料报送市住房保障部门。
审核
市住房保障部门组织审核，相关部门在职责范围内配合进行信息比对。
公示
对审核符合公共租赁住房配租条件的申请人，由市住房保障部门在媒体进行公示，公示期15天。
轮候
经公示无异议或异议不成立的申请人，由市住房保障部门登记，纳入公共租赁住房配租序列，按申请登记时间顺序轮候配租。
请注意，具体的申请条件和流程可能会根据最新的政策和规定有所变化，建议直接咨询当地住房保障部门获取最新信息。