遇到房东不肯换空调的问题，您可以采取以下步骤来维护自己的合法权益：
与房东协商
首先，您应该与房东进行积极的磋商和交流，说明空调损坏对您的影响，并请求房东承担维修责任。
如果房东仍然拒绝履行维修义务，您可以尝试提出一些解决方案，比如自己购买便携式空调或风扇，并询问房东是否愿意承担相关费用。
寻求第三方协助
如果与房东的协商没有结果，您可以向当地的房产管理局或相关政府机构投诉，请求他们介入调停。
您还可以寻求社区自治组织或小区居委会的帮助进行调解。
利用法律途径
如果上述方法都没有解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。
根据《中华人民共和国民法典》第七百一十二条和第七百一十三条，出租人有义务履行租赁物的维修义务，除非双方另有约定。如果出租人未履行维修义务，承租人可以自行维修，维修费用由出租人承担。
您可以收集相关证据，如租赁合同、通讯记录等，然后向人民法院提起诉讼，要求房东承担维修费用或解除租赁合同。
检查合同条款
在采取任何行动之前，建议您仔细查看租赁合同中是否有关于空调维修的条款。如果合同中有明确规定，您可以按照合同条款执行。
考虑其他选项
如果问题仍然无法解决，您还可以考虑退租，并寻找其他有空调的房源。当然，这可能需要您承担额外的租金成本。
总之，您应该先尝试与房东协商解决，如果无法达成一致，再考虑寻求第三方协助或通过法律途径解决问题。在整个过程中，保留好相关证据是非常重要的。