开除一个公务员需要遵循以下严格的法律程序：
单位提出建议并填写《辞退公务员审批表》
所在单位在核准事实的基础上，提出辞退建议并填写《辞退公务员审批表》，报任免机关。
任免机关组织人事部门审核
任免机关的组织人事部门对单位提交的材料进行严格审核，可能会进行调查核实，确保辞退理由充分合法。
任免机关审批
任免机关集体讨论，审批并作出辞退决定。如果拟辞退且按照规定需要进行经济责任审计的，应当事先对其进行审计。
通知被辞退公务员
作出辞退决定后，以书面形式通知被辞退的公务员，告知辞退依据和理由，同时将辞退决定送呈报单位。
办理公务交接手续
被辞退的公务员需要办理公务交接手续，确保工作的顺利移交。
存入人事档案并备案
将《辞退公务员审批表》和辞退决定等存入本人人事档案，同时将辞退决定送同级公务员主管部门备案。
公务员的申诉权利
被辞退的公务员如果认为自己被辞退不合理，可以向上级机关或者监察机关提出申诉。公务员还享有申诉控告的权利，这一机制使得辞退公务员的过程更加谨慎。
建议
严格遵循程序：开除公务员必须严格按照上述程序进行，确保每一步都合法合规。
充分证据支持：单位在提出辞退建议时，应提供充分的证据和理由，以支持辞退决定。
保障公务员权益：在辞退过程中，应保障公务员的合法权益，包括提供申诉和控告的机会。
通过以上步骤，可以确保开除公务员的过程公正、合法，同时保护各方的权益。