发布网络谣言的处罚根据行为人的具体行为及其严重程度，依法可以给予行政处罚或刑事处罚。
行政处罚：
根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十五条的规定，散布谣言，谎报险情、疫情、警情或以其他方法故意扰乱公共秩序的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
刑事处罚：
若发布网络谣言的行为达到犯罪程度，将根据《中华人民共和国刑法》的相关规定进行处罚。具体来说，编造虚假信息，或明知是编造的虚假信息，在信息网络上散布，或组织、指使人员在信息网络上散布，起哄闹事，造成公共秩序严重混乱的，以寻衅滋事罪定罪处罚。此外，编造虚假的险情、疫情、灾情、警情，在信息网络或其他媒体上传播，或明知是上述虚假信息，故意在信息网络或其他媒体上传播，严重扰乱社会秩序的，以编造、故意传播虚假信息罪定罪处罚。
参考条款：
1. 《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十五条
2. 《中华人民共和国刑法》第二百九十三条第一款第四项
3. 《中华人民共和国刑法》第二百九十一条之一第二款
4. 《关于办理利用信息网络实施诽谤等刑事案件适用法律若干问题的解释》第五条
综上所述，发布网络谣言的处罚可以是行政处罚，也可以是刑事处罚，具体取决于行为人的违法情节和社会危害程度。建议广大网民遵守法律法规，不信谣、不传谣，共同维护网络空间的良好秩序。