当面对婚内出轨并生有非婚生子女的情况时，以下是一些可能的处理方式：
离婚
如果配偶无法容忍出轨行为，可以选择离婚。
离婚可以选择协议离婚或诉讼离婚。
在离婚诉讼中，无过错方可能有权请求离婚损害赔偿。
财产分割时，法院可能会对无过错方有所照顾。
子女抚养
根据《民法典》第一千零八十四条，子女无论由父或母直接抚养，仍是双方子女。
不直接抚养子女的一方应支付抚养费。
对于不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则；已满两周岁的，根据具体情况判决；已满八周岁的，应尊重其真实意愿。
继承权
如果一方去世，其非婚生子女可能有权继承遗产，但具体情况需根据当地法律及遗嘱内容确定。
其他考虑
如果配偶愿意原谅并希望维持婚姻，可以考虑不离婚，但需要认真考虑配偶的秉性和未来的可能性。
如果配偶无法原谅，可以考虑流产或离婚，并考虑是否将孩子流产或结束婚姻关系。
请根据具体情况和个人意愿选择合适的处理方式，并咨询专业律师获取更详细的法律建议。