单位在解除劳动合同后，需要按照以下步骤给失业人员备案：
出具解除劳动关系的证明
用人单位应当及时为失业人员出具终止或者解除劳动关系的证明。
告知社会保险经办机构
用人单位应当将失业人员的名单自终止或者解除劳动关系之日起十五日内告知社会保险经办机构。
失业人员办理失业登记
失业人员应当持本单位为其出具的终止或者解除劳动关系的证明，及时到指定的公共就业服务机构办理失业登记。
失业人员办理失业登记时，需携带离职证明、身份证、户口本等资料。
办理领取失业保险金的手续
失业人员凭失业登记证明和个人身份证明，到社会保险经办机构办理领取失业保险金的手续。
总结：
单位在解除劳动合同后，应出具解除劳动关系的证明，并及时将失业人员名单告知社会保险经办机构。失业人员需携带相关证明到公共就业服务机构办理失业登记，然后凭失业登记证明和个人身份证明到社会保险经办机构办理领取失业保险金的手续。