在公路上撞狗后，应根据具体情况采取相应措施：
立即停车并确保安全：
首先，停车并确保自己和其他道路使用者的安全。如果可能，将车辆移至不妨碍交通的地方。
检查狗的状况：
如果狗受伤，应尽快将其送往附近的宠物医院接受救治。在等待救援期间，避免移动狗，以免加重其伤情。
寻找狗主人：
尝试寻找狗的主人，并与之协商赔偿事宜。如果狗有主人，狗主人负有一定的责任，因为狗是主人的财产。
报警：
如果找不到狗主人或狗主人拒绝协商，或者事故责任存在争议，应立即报警。警方会介入调查，并根据现场情况和责任认定书进行相应处理。
联系保险公司：
如果车主有车辆保险（如车损险），应尽快联系保险公司报案，并按照保险公司的要求提供相关证明材料进行理赔。
保留证据：
在等待交警或保险公司处理期间，拍摄现场照片和视频，记录狗的状态（是否系绳）和周边环境，以便作为后续处理的证据。
遵守法律：
根据《道路交通安全法》和《中华人民共和国民法典》，撞到狗后应承担相应的民事赔偿责任。如果狗主人也有过错，可以根据具体情况适当减轻驾驶者的责任。
尊重生命：
无论何种情况，都应尊重生命，避免逃逸或采取其他不当行为。
通过以上步骤，可以妥善处理公路上撞狗的事件，既保障了自己的权益，也尊重了动物的生存权利。