圆面积的计算公式是 S = πr²，其中S表示圆的面积，π是圆周率（约等于3.14159），r是圆的半径，即从圆心到圆上任一点的距离。如果已知圆的直径d，则可以通过直径来计算圆的面积，公式为：S = π（d/2）²。这是因为直径d等于半径r的两倍，即d = 2r，所以可以将半径r替换为d/2，从而得到上述公式。
此外，半圆的面积是圆面积的一半，即S半圆 = （πr²）/2。圆环面积可以通过大圆面积减去小圆面积得到，即S大圆 - S小圆 = π（R² - r²），其中R为大圆半径，r为小圆半径。
圆面积公式的推导可以基于微积分中的定积分和极限思想。将圆分割成若干个小扇形，每个小扇形的面积可以近似看作是一个等腰三角形的面积。对所有小扇形面积求和，得到整个圆的面积。这个求和过程实际上是一个定积分的求解过程，最终得到圆的面积公式S = πr²。