求矩阵特征值的基本方法如下：
构造特征方程
对于一个 （ n times n ） 的矩阵 （ A ），其特征方程为 （ det（A - lambda I） = 0 ），其中 （ I ） 是 （ n ） 阶单位矩阵，（ lambda ） 是特征值。
求解特征方程
解上述方程，得到的解即为矩阵 （ A ） 的特征值。这个方程是一个关于 （ lambda ） 的 （ n ） 次多项式方程，因此最多有 （ n ） 个特征值。
计算特征向量
将每个特征值 （ lambda_i ） 代入 （ A mathbf{v} = lambda_i mathbf{v} ），求解线性方程组 （ （A - lambda_i I） mathbf{v} = 0 ），得到对应的特征向量 （ mathbf{v} ）。
具体步骤示例
假设有一个 （ 2 times 2 ） 矩阵 （ A ）：
[ A = begin{pmatrix} a & b c & d end{pmatrix} ]
构造特征方程
[ det（A - lambda I） = det begin{pmatrix} a - lambda & b c & d - lambda end{pmatrix} = （a - lambda）（d - lambda） - bc = 0 ]
求解特征方程
[ （a - lambda）（d - lambda） - bc = 0 ]
[ lambda^2 - （a + d） lambda + （ad - bc） = 0 ]
[ lambda = frac{（a + d） pm sqrt{（a + d）^2 - 4（ad - bc）}}{2} ]
[ lambda = frac{（a + d） pm sqrt{a^2 + 2ad + d^2 - 4ad + 4bc}}{2} ]
[ lambda = frac{（a + d） pm sqrt{（a - d）^2 + 4bc}}{2} ]
计算特征向量
对于每个特征值 （ lambda_i ），解方程组 （ （A - lambda_i I） mathbf{v} = 0 ）：
[ begin{pmatrix} a - lambda_i & b c & d - lambda_i end{pmatrix} begin{pmatrix} x y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 0 end{pmatrix} ]
注意事项
确保矩阵是方阵，即行数和列数相等。
对于大型矩阵，可能需要采用数值方法来求解特征值和特征向量，例如幂法、QR算法等。
通过以上步骤，可以系统地求出矩阵的特征值及其对应的特征向量。