求幂级数的收敛域通常包括以下步骤：
确定系数的通项表达式 ：首先需要知道幂级数的通项公式，这通常是形如 （a_n （x - x_0）^n） 的形式，其中 （a_n） 是系数，（x_0） 是中心点。利用收敛半径公式求收敛半径R
比值判别法：
使用比值 （lim_{n to infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right|） 来求收敛半径 （R）。如果该极限值小于1，则收敛半径为 （R）；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则比值判别法无法判断收敛性。
柯西-阿达玛公式：对于幂级数 （sum a_n （x - x_0）^n），收敛半径 （R） 可以通过公式 （R = frac{1}{limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}}） 计算得到，其中 （limsup） 表示上极限。
判断端点的收敛性
左端点：将 （x = x_0 - R） 代入级数，判断其收敛性。
右端点：将 （x = x_0 + R） 代入级数，判断其收敛性。
综合判断
如果左端点收敛，则收敛域包含该点；如果右端点收敛，则收敛域包含该点；如果两端点都发散，则收敛域为空集；如果一端收敛而另一端发散，则收敛域为包含收敛端点的开区间或闭区间。
示例
考虑幂级数 （sum_{n=1}^{infty} frac{x^n}{n^2}），其系数通项为 （a_n = frac{1}{n^2}），中心点 （x_0 = 0）。
求收敛半径
使用比值判别法：
[
lim_{n to infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right| = lim_{n to infty} left| frac{frac{1}{（n+1）^2}}{frac{1}{n^2}} right| = lim_{n to infty} left| frac{n^2}{（n+1）^2} right| = 1
]
由于极限值为1，比值判别法无法判断收敛性，因此需要使用其他方法。
使用柯西-阿达玛公式：
[
R = frac{1}{limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|}} = frac{1}{limsup_{n to infty} sqrt[n]{frac{1}{n^2}}} = frac{1}{1} = 1
]
因此，收敛半径 （R = 1）。
判断端点的收敛性
当 （x = -1） 时，级数变为 （sum_{n=1}^{infty} frac{（-1）^n}{n^2}），这是一个交错级数，且项的绝对值递减趋于0，因此收敛。
当 （x = 1） 时，级数变为 （sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}），这是一个p-级数，且 （p = 2 > 1），因此收敛。
综合判断
收敛域为 （[-1, 1]），即包含端点的闭区间。
通过以上步骤，可以求得幂级数的收敛域为 （[-1, 1]）。