判断一个函数是否为周期函数，可以通过以下几种方法：
定义法
如果存在一个非零常数 （ T ），使得对于函数 （ f（x） ） 的定义域内的任意 （ x ），都有 （ f（x + T） = f（x） ），则 （ f（x） ） 是周期函数，且 （ T ） 是它的一个周期。
直观法
如果函数图像可以通过某一段图像的重复平移而衔接得到，则该函数是周期函数，且平移段两端点的横坐标之差是函数的一个周期。
公式法
如果 （ f（x） ） 是最小正周期为 （ T ） 的周期函数，则 （ f（kx） ） （其中 （ k ） 是常数） 是以 （ frac{T}{k} ） 为最小正周期的周期函数。
双轴法
如果两条平行直线都是函数图像的对称轴，则 （ f（x） ） 是周期函数，且 （ 2d ） 是它的一个正周期，其中 （ d ） 是这两条直线的距离。
两点法
如果点 （ （x_1, f（x_1）） ） 和 （ （x_2, f（x_2）） ） 都是函数图像的对称中心，则 （ f（x） ） 是周期函数，且 （ |x_2 - x_1| ） 是它的一个正周期。
点轴法
如果直线 （ y = kx + b ） 和点 （ （x_0, y_0） ） 分别是函数图像的对称轴和对称中心，则 （ f（x） ） 是周期函数，且 （ 2|x_0| ） 是它的一个正周期。
三角函数法
如果函数 （ f（x） ） 的解析式中包含正弦、余弦、正切等三角函数，可以通过三角函数的周期性来判断函数是否为周期函数。
傅里叶级数法
如果函数 （ f（x） ） 的傅里叶级数存在周期，则函数 （ f（x） ） 是周期函数。
反证法
假设函数 （ f（x） ） 是周期函数，然后推出矛盾，从而得出函数 （ f（x） ） 是非周期函数。
周期性判断公式
对于函数 （ f（x） = Asin（omega x + varphi） ），最小正周期是 （ T = frac{2pi}{|omega|} ）。
对于函数 （ f（x） = Atan（omega x + varphi） ），最小正周期是 （ T = frac{pi}{|omega|} ）。
周期函数的性质
如果 （ T ） 是 （ f（x） ） 的周期，则 （ -T ）、（ nT ） （（ n ） 为任意非零整数） 也是 （ f（x） ） 的周期。
如果 （ T_1 ） 和 （ T_2 ） 都是 （ f（x） ） 的周期，则 （ T_1 pm T_2 ） 也是 （ f（x） ） 的周期。
如果 （ f（x） ） 有最小正周期 （ T^* ），那么 （ f（x） ） 的任何正周期 （ T ） 一定是 （ T^* ） 的正整数倍。
以上方法可以帮助你判断一个函数是否为周期函数。