当犯罪嫌疑人或被告人遭遇超期羁押时，他们可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
要求解除羁押措施
犯罪嫌疑人或被告人有权要求人民法院、人民检察院或公安机关立即采取措施，如释放、解除取保候审、监视居住或依法变更强制措施。
申请国家赔偿
如果超期羁押是由于司法机关的违法行为造成的，当事人可以依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十九条的规定，要求国家赔偿。
申诉和监督
犯罪嫌疑人及其法定代理人、近亲属或委托的律师可以向上一级人民法院、人民检察院或公安机关申诉，要求撤销或变更强制措施，并监督改正。
对于公安机关超期羁押的情况，可以向检察院申诉；对于检察机关超期羁押的情况，可以向人民监督员申诉；对于法院超期审判的情况，可以向检察机关申诉。
法律途径
当事人可以通过法律途径，如提起行政诉讼或民事诉讼，来维护自己的权益。
媒体曝光
在某些情况下，通过媒体曝光超期羁押事件，可以引起社会关注，促使相关部门采取措施解决问题。
总之，面对超期羁押，当事人应当积极行使自己的权利，通过合法途径维护自己的合法权益。同时，司法机关也应当严格遵守法律规定，防止和纠正超期羁押现象的发生。