大学数学微分是微积分学中的一个重要概念，它涉及到函数在某一点的变化率的线性近似。以下是关于微分的详细解释和关键知识点：
微分的定义
定义1：
设函数 （ f ） 定义在点 （ x_0 ） 的某邻域上。当给 （ x ） 一个增量 （ Delta x ） 位于邻域内时，函数的增量为 （ f（x_0 + Delta x） - f（x_0） ）。若存在常数 （ A ），使得
[
f（x_0 + Delta x） - f（x_0） = A Delta x + o（Delta x）
]
其中 （ o（Delta x） ） 是关于 （ Delta x ） 的高阶无穷小量，则称函数 （ f ） 在点 （ x_0 ） 可微，并称 （ A Delta x ） 为 （ f ） 在点 （ x_0 ） 的微分，记作 （ df ） 或 （ dy ），即
[
df = A Delta x quad text{或} quad dy = A Delta x
]
由定义知，函数的微分与增量相比仅差一个关于 （ Delta x ） 的高阶无穷小量，且 （ A Delta x ） 为 （ Delta x ） 的线性函数，故当 （ Delta x ） 趋近于 0 时，也称微分 （ df ） 为增量 （ Delta x ） 的线性主部。
定义2：
若函数 （ f ） 在区间上每一点都可微，则称 （ f ） 为该区间上的可微函数。函数 （ f ） 在 （ x_0 ） 任一点处的微分记作 （ df ），这是一个二元函数。只有给定 （ x_0 ） 和 （ Delta x ） 的值，才能确定 （ df ） 的值。当 （ Delta x ） 趋近于 0 时，有
[
df = f'（x_0） Delta x
]
故 （ df ） 可改写为
[
df = f'（x_0） dx
]
进而有
[
frac{dy}{dx} = f'（x_0）
]
即函数的导数等于函数微分与自变量微分的商，故导数也成为微商。
微分的运算法则
利用导数与微分的关系，可以得到如下运算法则：
常数倍法则：
若 （ f（x） ） 和 （ g（x） ） 在点 （ x_0 ） 可微，则
[
d（cf） = cf'（x_0） dx
]
其中 （ c ） 是常数。
和法则：
若 （ f（x） ） 和 （ g（x） ） 在点 （ x_0 ） 可微，则
[
d（f + g） = df + dg
]
差法则：
若 （ f（x） ） 和 （ g（x） ） 在点 （ x_0 ） 可微，则
[
d（f - g） = df - dg
]
积法则：
若 （ f（x） ） 和 （ g（x） ） 在点 （ x_0 ） 可微，则
[
d（fg） = fdg + gdf
]
微分的应用
微分在数学和实际应用中具有重要意义，包括：
函数的增减性：
通过微分可以判断函数在某区间内的单调性。
最值问题：
通过微分可以找到函数的极值点。
切线和法线：
在几何上，微分可以用来求函数的切线和法线。
速度和加速度：
在物理中，微分可以用来求速度和加速度。
微分方程
微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程，是数学和物理学中的重要工具。微分方程可以分为常微分方程和高阶微分方程。
总结
微分是大学数学中的一个基础概念，通过理解微分的定义、运算法则和应用，可以更好地掌握微积分的思想和方法。建议通过大量的习题和实际应用来巩固和深化对微分的理解。