根据最新的排名信息，美国最大的私立大学是哈佛大学。以下是排名情况：
1. 哈佛大学 （Harvard University）
2. 斯坦福大学 （Stanford University）
3. 麻省理工学院 （Massachusetts Institute of Technology）
4. 哥伦比亚大学 （Columbia University）
5. 芝加哥大学 （University of Chicago）
6. 普林斯顿大学 （Princeton University）
7. 康奈尔大学 （Cornell University）
8. 耶鲁大学 （Yale University）
9. 加州理工学院 （California Institute of Technology）
10. 宾夕法尼亚大学 （University of Pennsylvania）
以上排名根据不同的评价标准和时间点可能会有所变化，但哈佛大学通常位于美国私立大学排名的首位