大学函数的极限是数学分析中的一个重要概念，它描述的是函数在某一特定点附近的行为，即当自变量趋近于该点时，函数值会无限接近某个确定的常数。以下是函数极限的一些关键定义和性质：
极限的定义
设函数 （ f（x） ） 在点 （ x_0 ） 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 （ A ），对于任意给定的正数 （ epsilon ）（不论它多么小），总存在正数 （ delta ），使得当 （ x ） 满足不等式 （ 0 < |x - x_0| < delta ） 时，对应的函数值 （ f（x） ） 都满足不等式 （ |f（x） - A| < epsilon ），那么常数 （ A ） 就叫做函数 （ f（x） ） 当 （ x ） 趋近于 （ x_0 ） 时的极限。
极限的性质
函数极限的存在与函数在该点的定义无关。即使函数在 （ x_0 ） 处没有定义，它仍然可能有极限。
函数极限只与函数在该点附近的变化趋势有关，而与该点本身的函数值无关。
几种特殊情况的极限
自变量趋于有限值：当 （ x ） 趋于某个有限值 （ a ） 时，函数 （ f（x） ） 的极限是 （ L ），即 （ lim_{x to a} f（x） = L ）。
自变量趋于无穷大：当 （ x ） 趋于正无穷或负无穷时，函数 （ f（x） ） 的极限是 （ L ），即 （ lim_{x to infty} f（x） = L ） 或 （ lim_{x to -infty} f（x） = L ）。
极限的四则运算及重要极限
极限的四则运算：如果 （ lim_{x to a} f（x） = L ） 且 （ lim_{x to a} g（x） = M ），则 （ lim_{x to a} [f（x） + g（x）] = L + M ），（ lim_{x to a} [f（x） - g（x）] = L - M ），（ lim_{x to a} [f（x） cdot g（x）] = L cdot M ），（ lim_{x to a} left[ frac{f（x）}{g（x）} right] = frac{L}{M} ）（前提是 （ M
eq 0 ））。
重要极限：例如 （ lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 ） 和 （ lim_{x to 0} （1 + x）^{frac{1}{x}} = e ） 等。
掌握这些概念和性质对于理解高等数学中的许多概念至关重要，例如导数、积分和级数等。建议在理解基本定义的基础上，通过大量的例题和练习来加深对这一概念的理解。