北京大学强基考题
题目：在体积为1的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为若干个长方体，则这些长方体中体积不大于1/2的长方体个数的最小值为多少？
解析：
设该点与正方体三组对面的距离分别为a, b, c。
正方体的体积为1，因此每个小长方体的体积为$frac{1}{a times b times c}$。
题目要求这些长方体中体积不大于$frac{1}{2}$的长方体个数的最小值，即求$frac{1}{a times b times c} leq frac{1}{2}$的最小整数解。
通过分析可得，当a, b, c中至少有两个为1时，体积不大于$frac{1}{2}$的长方体个数达到最小值。
因此，最小值为$leftlfloor frac{1}{1 times 1 times 1} rightrfloor + leftlfloor frac{1}{1 times 1 times frac{1}{2}} rightrfloor + leftlfloor frac{1}{1 times frac{1}{2} times 1} rightrfloor + leftlfloor frac{1}{frac{1}{2} times frac{1}{2} times 1} rightrfloor = 1 + 1 + 1 + 2 = 5$。
数学专业大学生竞赛几何训练题
题目：证明：如果$vec{A}, vec{B}, vec{C}$共线，那么$vec{A} + vec{B} + vec{C} = vec{0}$。
解析：
因为$vec{A}, vec{B}, vec{C}$共线，存在实数$m$使得$vec{A} = mvec{B}$且$vec{C} = mvec{B}$。
因此，$vec{A} + vec{B} + vec{C} = mvec{B} + mvec{B} + mvec{B} = m（vec{B} + vec{B} + vec{B}） = m cdot 3vec{B} = vec{0}$。
空间解析几何习题
题目：设$L$为平面$alpha$上的一条直线，$M_1（t_1, 2t_1, t_1 - 1）$，$M_2（t_2, 3t_2, 2t_2 - 1）$，$M_0（0, 0, -1）$，且$M_0M_1 parallel M_0M_2$，求直线$L$的方程。
解析：
由于$M_0M_1 parallel M_0M_2$，则向量$overrightarrow{M_0M_1} = （t_1, 2t_1, t_1 - 1）$与$overrightarrow{M_0M_2} = （t_2, 3t_2, 2t_2 - 1）$平行。
因此，存在实数$k$使得$（t_2, 3t_2, 2t_2 - 1） = k（t_1, 2t_1, t_1 - 1）$。
比较向量的对应分量，得到方程组：
$$
begin{cases}
t_2 = kt_1
3t_2 = 2kt_1
2t_2 - 1 = k（t_1 - 1）
end{cases}
$$
解得$k = frac{3}{2}$，$t_1 = 2$，$t_2 = 3$。
因此，直线$L$的方程为$frac{x - 2}{3 - 2} = frac{y - 4}{3 - 4} = frac{z + 1}{2 + 1}$，即$x