天门高中填志愿的时间安排如下：
第一次网上集中填报志愿：
6月29日8:00至7月2日17:00。
考生到初中学校集中网上填报志愿：
7月3日至4日。
考生网上查询录取结果：
7月12日至13日。
招考院公布征集志愿信息：
7月12日至13日。
掉档考生网上填报征集志愿：
7月14日至15日。
征集志愿考生录取：
7月16日。
高职、中职招生：
7月15日至31日。
因此，建议在天门高中填志愿的时间是 7月3日至4日，这两天是考生到初中学校集中网上填报志愿的时间，也是最佳的填报志愿时间。考生需要在这两天内完成所有志愿的填报，以确保能够顺利被录取。