公务员考试的核心机关是 国家公务员局（State Administration of Civil Service， 简称SACS）。国家公务员局是中央人事部直属机构，负责管理全国各级机关事业单位（不包括军队）的招考和录用工作，统一协调全国公务员考试的组织实施以及监督考试过程和考试内容。
具体来说，公务员考试的主管机关涉及以下方面：
中央层面
国家公务员局：负责全国范围内的公务员考试和录用工作，制定政策和监督实施。
国务院人事部门：负责中央国家行政机关即国务院的各厅、委、部、办、局等机关的录用考试工作。
地方层面
省级人民政府人事部门：负责地方各级国家行政机关的录用考试工作，可以授权设区的市级公务员主管部门组织考试。
地级市或设区的市级公务员主管部门：在省级公务员主管部门授权下，负责组织地方各级国家行政机关的录用考试工作。
具体招录机关
中央党群机关：包括中共中央各工作部门、民主党派和人民团体、国家立法机关、参政机关、司法机关等。
中央国家行政机关：包括中央政府即国务院的内设机构、组成部门、直属机构、国务院部委管理的国家局等。
中央国家行政机关直属机构和派出机构：包括国务院系统各部门直属或派出的工作机构。
综上所述，国家公务员局是公务员考试的核心机关，负责全国范围内的公务员招录和管理工作，而具体的招录工作则由国务院人事部门和省级人民政府人事部门负责，并在必要时由设区的市级公务员主管部门承担。