根据提供的信息，爱丁堡大学在多个排名系统中通常排名较高。以下是具体排名情况的概述：
在2021年QS世界大学排名中，爱丁堡大学排在第20位，而伯明翰大学排在第87位。
在2023年TIMES英国大学排名中，爱丁堡大学排在第16位，伯明翰大学排在第20位。
在特定学科的排名中，爱丁堡大学有16个学科排名英国前5，与G5（牛津、剑桥、伦敦大学学院、帝国理工、伦敦政治经济学院）并肩。
在2023年U.S. News世界大学排名中，爱丁堡大学排在第28位，伯明翰大学排在第96位。
从这些数据可以看出，在多数排名中，爱丁堡大学的排名高于伯明翰大学