组织公务员考试的机关主要分为中央和地方两个层面：
中央层面
中央公务员主管部门：负责中央机关及其直属机构公务员的录用工作。
国家公务员局：作为中央公务员主管部门的下属机构，具体负责组织实施公务员招考工作，包括招聘人员、编写考试大纲、试题和评分标准等。
地方层面
省级公务员主管部门：负责地方各级机关公务员的录用工作，包括制定地方公务员招考政策、组织考试等。
设区的市级公务员主管部门：在必要时，省级公务员主管部门可以授权其组织地方公务员的录用考试。
地市级及以下政府人事部门：负责各自辖区内的公务员招考和管理工作。
总结：
组织公务员考试的机关包括中央公务员主管部门（如国家公务员局）和省级公务员主管部门，以及必要时由省级主管部门授权的设区的市级公务员主管部门。地方各级机关的公务员录用工作由省级公务员主管部门负责，具体实施工作则可能由地市级及以下政府人事部门承担。