根据提供的信息，2024年上海小学网上报名的时间安排如下：
1. 第一阶段：4月13日至28日，适龄儿童进行小学入学信息登记。
2. 第二阶段：5月6日至10日，开展小学入学网上报名。其中，公办小学的报名截止日为5月10日，民办小学的报名截止日为5月8日。
报名入口可以通过访问上海义务教育报名系统：[https://zwdt.sh.gov.cn/govPortals/column/education/index.html](https://zwdt.sh.gov.cn/govPortals/column/education/index.html)。
请注意，家长需要在规定的时间内完成网上报名，错过报名时间将无法补办。同时，公办小学和民办小学的报名是互斥的，家长只能选择其中一类进行网上报名。