在国家公务员考试中，不定方程的求解方法主要包括整除法、奇偶性和尾数法。以下是这些方法的详细说明和应用示例：
整除法
适用情况：当常数项与某一未知数系数有公约数时，可以利用整除特性来简化问题。
示例：
例题：7x + 6y = 48，已知x, y为正整数，求x的值。
解析：6和48都能被6整除，因此7x也能被6整除，即x能被6整除。结合选项，x = 6。
奇偶性
适用情况：当两个未知数系数为一奇一偶时，可以通过奇偶性来推断未知数的值。
示例：
例题：x + 2y = 14，已知x, y为正整数且x为质数，求x的值。
解析：未知数系数一奇一偶，14是偶数，2y一定是偶数，故x也为偶数，又因为x为质数，所以x = 2。
尾数法
适用情况：当某个未知数系数为5或5的倍数时，可以通过观察尾数来推断未知数的值。
示例：
例题：4x + 5y = 21，已知x, y为正整数，求x的值。
解析：未知数系数一奇一偶，21是奇数，4x一定是偶数，所以5y为奇数，故5y的尾数为5，又因21尾数为1，所以4x尾数为6，结合选项x = 4。
综合应用示例
例题：某单位向希望工程捐款，部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，部门所有人共捐款320元，已知该部门总人数超过10人，求该部门可能有几名部门领导？
解析：
设部门领导人数为x，普通员工人数为y。
根据题意可得方程：50x + 20y = 320。
代入排除法：
代入A项：x = 1，则20y = 300，y = 15，总人数为1 + 15 = 16，超过10人，符合条件。
代入B项：x = 2，则20y = 260，y = 13，总人数为2 + 13 = 15，超过10人，符合条件。
代入C项：x = 3，则20y = 220，y = 11，总人数为3 + 11 = 14，超过10人，符合条件。
代入D项：x = 4，则20y = 200，y = 10，总人数为4 + 10 = 14，超过10人，符合条件。
因此，部门领导人数可能为1名、2名、3名或4名。
通过以上方法，可以有效地解决国家公务员考试中的不定方程问题。建议考生在备考过程中多练习此类题型，以提高解题速度和准确率。