补办交通监理工程师证书的过程如下：
报告遗失情况
首先，您需要尽快向相关部门报告证书遗失的情况，例如交通运输部或者负责颁发证书的单位。
准备证明材料
提供相关证明材料，如身份证明、原证书复印件、遗失或损坏证明（如报案证明、保险赔付单据等）。
重新申请
根据相关部门的要求，您可能需要重新申请办理该证书，并按照要求提供相关材料并缴纳相应的费用。
等待审核
在重新获得证书之前，您可能需要等待一段时间，以便相关部门进行审核和处理。
领取新证书
审核通过后，您可以在一定时间后领取新的监理工程师证书。领取时需要提供身份证、手机号等信息，并缴纳证书制作费及快递费。通常可以选择自取或邮寄两种方式。
需要注意的是，不同地区的监理工程师证书补办流程可能会有所不同，具体以当地职业资格认定机构的规定为准。此外，如果监理工程师资格证书不慎遗失，需要按以下程序办理补办：
发表声明作废
由本人写出遗失原因，并在省、部级有关报纸上刊登公告，声明作废。
填写申请表
填写“《监理工程师岗位证书》补办申请表”，由本监理企业予以证明，并经省（总公司）级监理工程师注册主管部门核查、备案。
提交申请材料
持“《监理工程师岗位证书》补办申请表”、登有声明遗失《监理工程师岗位证书》作废的报纸、以及监理工程师执业资格证书（复印件）和身份证（复印件）等有关材料，报建设部监理工程师注册管理部门审查合格后，方能补发。
建议您尽快联系当地职业资格认定机构或相关部门，获取详细的补办流程和所需材料，以确保补办过程顺利进行。