监理工程师单位性质主要涉及以下几种：
建筑工程咨询单位：
监理工程师这类单位一般由专业技术人员组成，主要开展建筑工程中的施工监理、勘察设计、工程咨询等业务，为建筑企业提供全面、专业的技术服务和管理咨询。
监理单位：
监理单位是政府部门或企业机构，主要负责确保建筑工程按照设计要求进行。监理单位需要拥有监理工程师的资质，才能进行建筑项目的监理。监理单位主要职责是对建设单位进行监理，并对建设单位进行技术、质量、安全等方面进行评估和监管。
独立第三方机构：
监理工程师也可以作为独立的第三方机构或个人，负责监督工程质量、进度、安全等方面，具有专业性和权威性。
工程质量检测机构：
工程质量检测机构是为建设工程提供技术检测、鉴定、监督和纠纷调解服务的独立第三方机构。报考工程质量检测机构的监理工程师需要具备扎实的专业知识和技能，能够准确判断和鉴定工程建设质量问题。
工程建设企业：
工程建设企业是从事工程建设、施工、监理等方面的综合性机构。监理工程师可以在这类企业内担任相关职位。
综上所述，监理工程师单位性质可以是建筑工程咨询单位、监理单位、独立第三方机构、工程质量检测机构或工程建设企业等。具体单位性质取决于从事的业务类型和资质要求。