监理工程师在职务中若涉及以下行为，可能构成犯罪：
受贿：
监理工程师利用职务便利，索取他人财物，或非法收受他人财物，为他人谋取利益，构成受贿罪。
玩忽职守：
监理工程师若违反规定，不履行或不正确履行职责，导致工程质量和安全受影响，或国家、集体和公民财产受损失，构成玩忽职守罪。
贪污：
监理工程师利用职务便利，侵吞公共财物，构成贪污罪。
徇私舞弊：
监理工程师在工程建设、项目管理等活动中，徇私舞弊，导致工程质量和安全受到严重影响，构成徇私舞弊罪。
降低工程质量标准：
监理工程师若违反国家规定，降低工程质量标准，造成重大安全事故，构成工程重大安全事故罪。
其他违法行为：
如监理工程师故意隐瞒工程中的重大问题，或造成重大安全生产事故等，可能触犯其他相关法律法规，如《中华人民共和国安全生产法》等，并承担相应的法律责任，包括刑事责任。
具体判定监理工程师是否犯罪，需依据具体案件事实和法律规定，由司法机关依法审理和判决。建议监理工程师严格遵守职业道德和法律法规，确保工程质量和安全，避免触犯法律。