监理工程师申请延期需要遵循以下步骤：
确认申请资格
监理工程师注册有效期不满三个月时，系统会自动提示企业办理延续业务。当选中人员注册有效期距当前日期不满1个月时，系统不允许上报延续业务。
准备申请材料
填写延期申请书，明确申请的延期期限、原因及其他相关信息。
准备需要提交的申请材料，包括延期申请书、监理项目完成情况汇总表、业绩材料等。
提交申请
将申请书及相关材料提交给当地建设行政主管部门或者工程监理协会，可以通过邮寄、传真、电子邮件等方式提交申请材料。
在提交申请材料时，需要确认所有申请材料的完整性和真实性，以避免审批出现问题。
等待审核
向考试机构提交书面申请，说明原因和延期时间，等待审核通过。
提供必要文件和证据
监理工程师需要准备好必要的文件和证据，如监理日志、施工合同、工期计划等，以支持延期申请的合理性和正当性。
详细记录施工过程中的情况，以及延期申请的原因和必要性。
与业主或相关方协商
向业主或相关方申请延期时，需要说明延期的原因、可行性分析及延期的详细期限等，并提供必要的证据。
业主或相关方会基于此做出决定。
审批流程
监理工程师接到建设单位或承包商的延期申请后，应及时进行调查核实，并准确地确定出工程延期时间。
延期事件结束后，承包单位应向监理工程师提交最终的详情报告，监理工程师应复查详情报告的全部内容，并与业主和承包单位进行协商，确定该延期事件所需要的延期时间。
法律依据
根据《建筑法》第十一条和第十九条，因故不能按期开工或者中止施工的，应当及时向批准机关报告情况。因故不能按期开工超过六个月的，应当重新办理开工报告的批准手续。
建议监理工程师在申请延期时，详细记录延期的原因和必要性，并准备好充分的证据材料，以确保申请过程顺畅，并符合相关法律法规的要求。