监理工程师在履行职责时需要核查的内容非常广泛，主要包括以下几个方面：
报考资格核查
核查报考者的学历、工作年限、专业背景等是否符合报考条件。
施工图纸核查
检查建筑图纸是否符合设计标准，是否有遗漏或错误部分，并及时纠正以确保施工按最新图纸进行。
基础工程核查
检查建筑物的基础工程，包括地基处理、地下管道、地面平整度等，确保基础工程符合标准以保证建筑物的稳定性。
结构和装饰材料核查
确保建筑物的主要结构满足安全强度要求，装饰材料符合环保要求。
施工过程中的安全措施核查
检查现场的安全警示标识是否齐全，工人是否佩戴个人防护装备等，以确保工人和建筑物的安全。
施工方案、施工图纸、材料设备质量核查
审核施工方案、施工图纸、材料设备质量，确保工程符合标准和规范要求。
工程质量和安全核查
按照法律法规和工程建设标准进行监理，及时发现并督促整改工程质量和安全问题。
合同履行和变更核查
检查工程合同的签订、履行、变更等方面，确保不存在合同违规操作。
费用控制和成本核算核查
核实监理工程师是否按照规定对工程费用进行了合理控制，是否存在成本核算不准确、虚报冒领等问题。
职业道德和廉洁自律核查
关注监理工程师是否存在收受礼金、回扣等不正当利益的行为，以及是否有违反廉洁自律规定的行为。
法律法规遵守情况核查
检查监理工程师在工程监理过程中是否严格遵守了相关法律法规，如《建筑法》、《建设工程质量管理条例》等。
综上所述，监理工程师在核查过程中需要全面细致地检查各项内容，确保工程质量和安全，同时也要关注合同管理和费用控制等方面，以保证工程能够按照既定的标准和规范顺利进行。