监理工程师可以申报的职称包括：
助理工程师（初级职称）；
工程师（中级职称）；
高级工程师（副高级职称）；
正高级工程师（正高级职称）。
根据相关文件，监理工程师取得中级专业技术等级证书后，可以直接认定为工程师。此外，监理工程师还可以根据相应的学历和工作经验申报更高级别的职称，例如高级工程师和正高级工程师。
因此，监理工程师可以聘任的职称主要是 工程师，并且他们还可以根据个人情况和资格进一步申报更高级别的职称。建议监理工程师在申报职称时，仔细了解并满足相关的评定条件和所需材料，以确保顺利获得相应的职称。