监理工程师资格证书遗失后，可以通过以下步骤申请挂失和补办：
准备材料
本人身份证原件及复印件。
证书遗失登报声明原件（公开发行的市级以上报刊）。
近期免冠正面2寸彩色照片2张。
监理工程师资格证书变更（补发、补遗）申请表。
提交申请
到原发证机关（通常是省级质量技术监督局）提交挂失申请，并填写挂失申请表。
等待审核
提交申请后，等待发证机关审核，审核通过后将补办新的证书，旧证作废。
建议
选择正规渠道：建议通过原发证机关或指定的培训机构进行挂失和补办，以确保流程的正规性和证书的合法性。
提前准备：提前准备好所有必要的材料，确保申请过程顺利。
注意时效：尽快办理挂失和补办手续，以免影响正常使用。