监理工程师变更单位需要按照以下步骤和提供相应的证明文件办理手续：
填写申请表
填写《中华人民共和国注册监理工程师变更注册申请表》一式二份，网上填写并打印。
提交证明文件
新聘用单位签订的有效聘用劳动合同及社会保险机构出具的参加社会保险的清单（退休人员仅需提供有效的聘用合同和退休证明）。
工作调动证明或与原聘用单位终止或解除聘用劳动合同的证明文件复印件，或由劳动仲裁机构出具的解除劳动关系的劳动仲裁文件复印件。
如跨省、自治区、直辖市变更执业单位，还需提供满足新聘用单位所在地相应继续教育要求的证明材料。
如变更注册专业，应提供与申请注册专业相关的工程技术、工程管理工作经历和工程业绩证明，以及满足相应专业继续教育要求的证明材料。
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提交申请
将上述材料提交给新聘用单位所在地的建设行政主管部门。
等待审核
建设行政主管部门会对提交的材料进行审核，审核通过后，会办理变更注册手续。
注意事项
根据《注册监理工程师管理规定》，注册监理工程师变更执业单位应按程序办理变更注册手续。
监理工程师和建设单位没有合同关系，建设单位不能直接更换监理工程师。建设单位可以按照合同约定，要求监理公司更换监理工程师，但监理公司在合同约定的权利范围内有权拒绝。
如果监理工程师资格证已在一单位注册，根据国家规定，建设部的证书只能注册在一家单位。因此，在办理变更注册手续前，请确保已与原注册单位解除聘用关系。
建议您在办理变更注册手续前，先与原注册单位沟通协商一致，确保手续顺利进行。