交通运输工程监理工程师的执业范围主要包括以下几个方面：
编制监理计划和监理细则
审核施工组织设计、总体进度计划及施工方案。
审验进场材料、设备及构配件。
签发工程开工令、停工令等。
监督检查
监督检查施工单位管理制度建设和运行情况，包括施工质量、安全、环保、费用和进度等。
监督检查项目竣（交）工验收、单位工程验收、分部分项工程验收、维修保养、资料归档等。
参与工程验收
按照职责权限参与工程的质量评定工作和验收工作。
收集、汇总、整理监理资料。
参与编写监理月报，填写监理日志等。
其他相关职责
从事工程监理、工程经济技术咨询、工程招标采购咨询、工程项目管理服务以及国务院有关部门规定的其他业务。
综上所述，交通运输工程监理工程师的执业范围涵盖了从项目初期的监理计划编制、材料设备审验，到施工过程中的质量、安全、环保等监督检查，再到项目竣工后的验收和资料归档等各个环节。此外，他们还可以参与工程的经济技术咨询和招标采购咨询，以及相关的工程项目管理服务。