总监监理工程师的授权过程通常包括以下几个步骤：
明确授权范围和权力
总监应根据项目实际情况，明确授权范围和权力。这包括确定授权期限、授权事项和权力范围等。
书面告知
总监应以书面形式（如授权书、工作委托书等）将授权内容告知监理工程师。书面授权书应包括授权期限、授权事项、权力范围等，并由总监签字并加盖公章，以确保授权的正式性和有效性。
职责明确
在授权范围内，监理工程师负责项目的日常管理和监督工作，并及时向总监汇报项目进展、问题和风险。
授权委托书
总监理工程师的授权也可以由建设单位或委托建设单位的监理机构进行。建设单位或监理机构负责组织总监理工程师的评选、考核和授权工作。总监理工程师必须具备一定的资格条件和经验，经过严格的考核和评审后方可获得授权。
法定代表人授权
总监理工程师是由监理单位法定代表人书面授权，全面负责委托监理合同的履行、主持项目监理机构工作。只有通过全国注册监理工程师考试，而且是高级工程师以上职称的，才能担任总监理工程师。
连带责任
总监理工程师代表在获得授权后，代表总监理工程师行使部分职责和权力，并与总监理工程师承担连带责任。
通知承包人
总监理工程师应将被授权监理人员的姓名及其授权范围通知承包人。被授权的监理人员在授权范围内发出的指示视为已得到总监理工程师的同意，与总监理工程师发出的指示具有同等效力。总监理工程师撤销某项授权时，应将撤销授权的决定及时通知承包人。
通过以上步骤，总监理工程师可以对其下属的监理工程师进行有效的授权，确保项目监理工作的顺利进行。