如果监理工程师遇到欠款问题，可以采取以下步骤来维护自己的权益：
协商解决
首先尝试与欠款方进行沟通协商，看是否能够达成还款协议。
利用合同条款
如果合同中有明确的支付条款，比如分期付款或一次性付款，可以根据合同内容要求对方履行付款义务。
中介协助
如果协商无效，可以考虑通过中介（如果有的话）来催促对方支付欠款。
法律途径
如果上述方法都不奏效，可以通过法律途径解决，包括向法院提起诉讼或申请仲裁。
可以向工程所在地或被告所在地的法院提起诉讼，要求对方支付欠款。
如果法院判决支持，但对方仍拒不支付，可以申请法院强制执行，包括查封对方的全财产（如银行账户、房产、车辆等）。
投诉举报
可以拨打相关电话投诉，例如12333或12351，或者到当地工会和劳动监察部门申请仲裁。
公开曝光
如果挂靠费被拖欠且金额较大，可以考虑通过媒体或社交平台公开曝光，以引起社会关注，迫使对方支付欠款。
法律后果
对于恶意拖欠款项的行为，根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条，有能力执行而拒不执行，情节严重的，可以判处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
建议监理工程师在采取任何行动前，先咨询专业律师，获取详细的法律意见和帮助，以确保自己的权益得到最大程度的保护。