监理工程师调动单位需要遵循以下步骤和注意事项：
准备材料
申请人变更注册申请表；
申请人与新聘用单位签订的聘用劳动合同复印件；
申请人的工作调动证明（与原聘用单位解除聘用劳动合同或者聘用劳动合同到期的证明文件、退休人员的退休证明）。
提交申请
将上述材料提交给新聘用单位所在地的建设行政主管部门。
等待审核
建设行政主管部门会对提交的材料进行审核，审核通过后，会为您办理变更注册手续。
注意事项
根据《注册监理工程师管理规定》，注册监理工程师变更执业单位，应按程序办理变更注册手续。
监理工程师和建设单位没有合同关系，建设单位不能直接更换监理工程师。建设单位可以按照合同约定，要求监理公司更换监理工程师，但监理公司在合同约定的权利范围内有权拒绝。
如果您的监理工程师资格证已在一单位注册，根据国家规定，建设部的证书只能注册在一家单位。因此，在办理变更注册手续前，请确保已与原注册单位解除聘用关系。
咨询与协商
在办理过程中，如有疑问，您可以与新聘用单位或建设行政主管部门进行沟通和协商，以解决问题。
在线申请
可以在国家政务网上申请变更，需要先拿到注册证书和之前的离职证明，然后在新公司登录国家政务系统上传相关合同和证明文件，提交申请。
单位内部流程
变更注册一般是单位专人办理，监理工程师需要知道具体的程序。在原单位申请变更时，需要提供变更原因和目标单位，并经过原单位同意。在目标单位申请接收时，需要验明变更申请人的身份，并进行相关的审核工作。
保护信息安全
监理工程师变更单位时，必须注意保护项目信息安全。监理工程师作为项目第三方管理人员，在工作过程中掌握项目重要信息，如图纸、合同、工程进度、安全隐患等。变更单位后，监理工程师需要将项目信息保密，避免信息泄露。
建议您在办理监理工程师调动单位时，提前准备好所有必要的材料，并与新单位和原单位进行充分沟通，确保变更过程顺利且符合相关规定。