监理工程师的出题部门主要有以下几种说法：
中国建设监理协会：
有信息称监理工程师考试出题方为中国建设监理协会。
国家人力资源和社会保障部门：
根据《中华人民共和国注册监理工程师管理条例》，注册监理工程师的考试是由国家人力资源和社会保障部门统一组织考试的。
住房和城乡建设部：
有信息称注册监理工程师考试是由国家住建部统一出题。
交通运输部、水利部、人力资源社会保障部：
这些部门共同委托人力资源社会保障部人事考试中心承担一级监理工程师职业资格考试的具体考务工作，同时这些部门也可以分别委托具备相应能力的单位承担命题、审题和主观试题阅卷等具体工作。
综合以上信息，可以得出以下结论：
监理工程师的出题部门可能涉及中国建设监理协会、国家人力资源和社会保障部门、住房和城乡建设部以及交通运输部、水利部和人力资源社会保障部等多个部门。
具体的出题机构可能是这些部门共同委托的人事考试中心或具备相应能力的单位。
因此，建议参考最新的政策文件或官方公告以获取最准确的信息。