监理工程师砍树需要遵循以下步骤和注意事项：
伐树前准备
实地观察：观察地形、树木大小、周边环境，制定简单计划。
工具准备：准备油锯、手锯、斧头、千斤顶、绳子、伐木楔、支杆、安全帽等工具，并确保掌握正确使用方法。
清理场地：清理树木周围的小树、杂草、藤条、马蜂窝等，选好被伐树倒下时的躲避退路，严禁单人伐树，至少两人配合，一人伐树，一人指挥。
伐木方法与经验
预设倒向：计划被伐树木的预设倒向，尽量按树的自然倒向，若条件不允许，则需掌握“定向倒树技巧”，包括绳索控制法、木楔定位法、千斤顶倒向法。
绳索控制法：在树木倒落方向绑好控制绳索，确保拉绳人员安全，在树木倒落方向一侧锯树，形成“V”字缺口，再在另一侧锯树，锯口比另一侧高2cm左右。
安全评估与施工时间
评估树木状况：评估待砍伐树木的健康状况和稳定性，制定砍树方案。
安排施工时间：选择合适的时间进行砍树作业，避免恶劣天气或人员不足影响施工。
使用正确的工具和技术
选择工具：根据树木大小和状况选择适当的工具和砍树技术，降低人员伤害风险。
技术选择：包括手工砍伐、绳索和吊索砍伐等，确保砍树方向和落点范围合理，避免损坏周围建筑物或设施。
施工人员安全警示
沟通与安全警示：施工人员应相互沟通，提前做好安全警示，确保他人远离砍伐区域。
其他注意事项
标识砍伐区域：使用彩色喷漆或其他标志物标识砍伐区域，确保施工人员清晰识别。
清理周围环境：清理树木周围的杂物、建筑物及其他障碍物，提供足够的空间和安全工作环境。
作业带放线：成立作业带放线小组，在作业带边界订上木桩，用百米绳或钢卷尺进行放线，清理作业带内的树木和树根。
许可证与交底：必须获取树木砍伐许可证，并对作业人员进行安全交底。
通过以上步骤和注意事项，监理工程师可以安全、高效地进行树木砍伐工作。