监理工程师应该按照合同要求履行监理义务，这包括但不限于以下几个方面：
工程进度管理：
监理工程师需要按照合同约定的时间节点，及时完成监理工作，确保工程质量和进度。
工程质量控制：
监理工程师应对工程施工过程进行监督，确保工程质量符合相关标准和合同要求。
工程计量与支付：
监理工程师应进行工程计量，为工程进度款的支付签署进度、计量方面的认证意见。
合同管理：
监理工程师需要在合同签订前对合同内容进行仔细审查，并在合同管理中严格遵守合同规定，确保监理工作的顺利进行和监理成果的有效实施。
监理报告：
监理工程师应按照合同约定，及时提供监理报告，报告内容应包括工程进度、质量、安全等方面的情况。
处理工程纠纷：
监理工程师应及时处理工程纠纷，包括工程质量问题、工程变更、工程延误等。
维护监理权益：
监理工程师应维护自身的权益，包括监理费用、工作范围、工作时间等方面的权益。
监督检查合同执行情况：
监理工程师需要对合同执行情况进行监督检查，确保承建方严格遵循合同要求，及时提出整改意见。
参与合同变更议价：
在工程建设过程中，监理工程师需要积极参与合同变更议价，保证变更后的合同不会对原有的工程进程造成重大影响。
通过以上各项内容，监理工程师可以确保整个工程按照合同要求顺利进行，同时维护自身和业主的权益。