监理工程师在处理工期延期时，应当遵循以下流程和注意事项：
承包单位的责任
承包单位应当在合同规定的有效期内，以书面形式通知监理工程师，并提交详细的申述报告。
承包单位在延期事件结束后，应在合同规定的期限内向监理工程师提交最终的详情报告。
监理工程师的职责
监理工程师在收到承包单位的申述报告后，应及时进行调查核实，并准确地确定出工程延期时间。
监理工程师应复查承包单位提交的最终详情报告的全部内容，并与业主和承包单位进行协商，以确定该延期事件所需要的延期时间。
需要申请批准手续的情形
若工程延期涉及以下情形，建设单位应当按照国家有关规定办理申请批准手续：
需要临时占用规划批准范围以外场地的；
可能损坏道路、管线、电力、邮电通讯等公共设施的；
需要临时停水、停电、中断道路交通的；
需要进行爆破作业的。
法律依据
《中华人民共和国建筑法》第十一条规定，建筑工程因故不能按期开工或者中止施工的，应当及时向批准机关报告情况。因故不能按期开工超过六个月的，应当重新办理开工报告的批准手续。
建议
承包单位在申请工程延期时，应确保提交的报告内容详实、准确，以便监理工程师能够迅速完成调查核实工作。
监理工程师在处理延期申请时，应保持公正、客观的态度，确保延期时间的确定合理、合法。
若延期申请涉及需要申请批准手续的情形，建设单位应及时办理，以免影响工程的整体进度。