监理工程师的核发单位是 住房和城乡建设部，也就是国家住房和城乡建设部。这个单位作为中国建设行业的国家级主管单位，对于建筑领域的发展和建设提供了非常重要的支持和指导。国家住房和城乡建设部作为监理工程师证的发证单位，具有以下几个特点：
权威性：
国家住房和城乡建设部是我国建筑领域权威性非常高的主管单位之一，其颁发的监理工程师证书具有很高的权威性和信誉度。
统一性：
监理工程师执业资格证是由各行业主管部门发的，比如交通部、铁道部、住房和城乡建设部等。我们一般所指的监理工程师执业资格证是由住房和城乡建设部发的。考试是由住房和城乡建设部和人事部联合举行的，在全国范围的建筑行业内有效；其他的行业主管部门也有类似的考试，所取得的证书在各行业内部（全国范围）是有效的。
因此，可以确定，监理工程师的核发单位是中华人民共和国住房和城乡建设部。