监理工程师申请索赔的流程通常包括以下几个步骤：
准备索赔材料：
监理工程师首先需要准备好索赔材料，包括索赔申请书、索赔计算清单、现场照片、构成索赔的文件和合同、工程进度表等。索赔计算清单应详细列出索赔的项目、原因、影响、损失和支出等。现场照片应提供有力的证据，注意照片拍摄的时间和地点、光线等因素。
了解工程合同及相关约定：
监理工程师需要了解工程合同及相关约定，并掌握相关证据。在发生纠纷时，需要对工程合同的条款及承包商的执行情况进行评估和分析，确立索赔的责任方、标的额以及索赔条件和证据。
发出索赔通知书：
监理工程师向承包商发出索赔通知书，索赔通知书需要具体说明索赔的理由、标的额、索赔条件和证据，并要求承包商在一定的时间内进行回复或赔付。
承包商回复：
承包商在收到索赔通知书后需要对其进行回复，说明是否接受索赔要求、认可索赔标的额以及能否达成和解协议等内容。如果承包商无法满足索赔要求，监理工程师可以根据合同规定提起仲裁或诉讼。
提交索赔申请：
监理工程师提交索赔申请时，应注意申请材料应该齐全、准确、有力，索赔金额应该合理、公正、有据可查。索赔申请书中应详细说明索赔的原因、构成、影响和损失，并提供证明材料。
索赔文件的提交：
提出索赔的一方应在合同规定的时限内向对方提交正式的书面索赔文件。例如，FIDIC合同条件和我国《建设工程施工合同示范文本》（GF-99-0201）都规定，承包人必须在发出索赔意向通知后的28天内向工程师提交一份详细的索赔文件和有关资料。
索赔文件的审核：
对于承包人向发包人的索赔请求，索赔文件首先应该交由工程师审核。工程师根据发包人的委托或授权，对承包人的索赔要求进行审核和质疑。
索赔答复：
监理工程师在收到承包人送交的索赔报告和有关资料后，应在规定时间内给予答复。如果监理工程师在收到索赔报告和有关资料后14天内未予答复或未对承包人作进一步要求，视为该项索赔已经认可。
争议解决：
如果承包商不接受索赔处理结果，按合同中争议解决条款的约定处理。监理工程师在处理索赔申请时，应当组织会审、实地勘察、查验资料、听取各方意见并提出自己的建议。
建议监理工程师在处理索赔事宜时，严格按照合同条款和相关法律法规进行，确保索赔过程的合规性和有效性。同时，应注意证据的收集和保存，以便在需要时提供有力的支持。