监理工程师的连带责任主要包括以下几个方面：
对工程质量的连带责任：
监理工程师必须对所监理的工程质量负责，如果工程出现质量问题，监理工程师也要承担连带责任。
对工程安全的连带责任：
监理工程师要对工程的安全性负责，如果工程发生安全事故，监理工程师也要承担连带责任。
对工程进度的连带责任：
监理工程师要对工程进度负责，如果工程延误，监理工程师也要承担连带责任。
对工程造价的连带责任：
监理工程师要对工程造价负责，如果工程造价超出预算，监理工程师也要承担连带责任。
违章指挥或发出错误指令：
如果监理工程师违章指挥或发出错误指令，引发安全事故，他们需要承担连带责任。
将不合格的材料或设备按照合格签字：
监理工程师如果将不合格的建设工程、建筑材料、建筑构配件和设备按照合格签字，造成工程质量事故，由此引发安全事故，他们需要承担连带责任。
与建设单位或施工企业串通：
如果监理工程师与建设单位或施工企业串通，弄虚作假、降低工程质量，造成损失，他们需要承担连带赔偿责任。
未履行监督检查职责：
监理工程师如果对应当监督检查的项目不检查或不按照规定检查，给建设单位造成损失，他们需要承担连带责任。
未按照工程监理规范实施监理：
监理工程师如果未按照工程监理规范的要求实施监理，他们需要承担相应的连带责任。
转包或违法分包监理业务：
监理工程师如果转包或违法分包所承揽的监理业务，他们需要承担连带责任。
总之，监理工程师在工程建设中扮演着重要的监督和管理角色，他们的连带责任是必须要承担的，以确保工程的质量、安全、进度和造价都符合相关标准和规定。