中线公式的推导
问题描述
- 精选答案
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若AD是△ABC的中线，则有：AD＝（1/2）√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）。
利用勾股定理推导。过A作AE⊥BC，垂足为E。一、当D、E重合时，则有：AB＝AC、BD＝BC/2。由勾股定理，有：AD^2＝AB^2－BD^2＝AB^2－BC^2/4＝（1/4）（4AB^2－BC^2），∴AD＝（1/2）√（4AB^2－BC^2）＝（1/2）√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）。
二、当E在线段CD上时，由勾股定理，有：AE^2＝AB^2－BE^2、AE^2＝AC^2－CE^2，∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－BE^2－CE^2＝AB^2＋AC^2－（BD＋DE）^2－（CD－DE）^2，∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－BD^2－2BD×DE－DE^2－CD^2＋2CD×DE－DE^2，而BD＝CD＝BC/2，∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－2（BC/2）^2－2DE^2＝AB^2＋AC^2－BC^2/2－2DE^2。再由勾股定理，有：AE^2＝AD^2－DE^2，代入上式中，得：2AD^2－2DE^2＝AB^2＋AC^2－BC^2/2－2DE^2，∴4AD^2＝2AB^2＋2AC^2－BC^2，∴AD＝（1/2）√（AB^2＋AC^2－BC^2）。
- 其他回答
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中线公式推导如下：假设三角形ABC的三边分别为a, b, c，且c为底边。点E为边BC的中点。令点D为边AB上的一点，且BD = CE。根据三角形的中线定理，可以得出：AC² = 2(AD² + DC²) --（1）由于BD = CE，可以得出：DC = BD - BC/2 = BD - a/2将上述式子代入（1）式中，得：AC² = 2(AD² + (BD - a/2)²) --（2）进一步化简（2）式，得到中线公式：AC² = 2(AD² + BD² - aBD + a²/4) --（3）如果我们知道三角形ABC的底边长度c，并且已知顶点A的坐标为(x1, y1)，顶点B的坐标为(x2, y2)，则可以通过以下步骤求得AC的长度：
1. 求AB的长度：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = a
2. 求BD的长度：BD = AB / 2
3. 求AD的长度：AD = √(AC² - BD² + aBD - a²/4) = √(AC² - a²/4)
4. 求AC的长度：AC = √(2(AD² + BD² - aBD + a²/4))通过上述步骤，就可以求得中线公式中的AC长度。
- 其他回答
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设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c．
1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长： ................_______ ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2 ； ................_______ mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2 ； ................_______ mc=(1/2)√2a^2+2b^2-c^2 。 (ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）
3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
证明
三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的。
