2011年考研数学三的真题涵盖了高等数学的多个重要知识点，包括极限、导数、无穷级数等。以下是部分题目及其解析：
选择题解析
1. 已知当$x to 0$时，$f（x） = 3sin x - sin 3x$与$cx^k$是等价无穷小，则：
（A）$k=1, c=4$
（B）$k=1, c=-4$
（C）$k=3, c=4$
（D）$k=3, c=-4$
答案：（C）
解析：
方法一：利用洛必达法则或泰勒公式可以得出$c=4, k=3$。
方法二：直接利用等价无穷小的定义和泰勒展开式。
2. 已知函数$f（x）$在$x=0$处可导，且$f（0）=0$，则：
（A）$lim_{x to 0} frac{f（x）}{x^2} = 2f'（0）$
（B）$lim_{x to 0} frac{f（x）}{x^2} = f'（0）$
（C）$lim_{x to 0} frac{f（x）}{x^3} = 2f'（0）$
（D）$lim_{x to 0} frac{f（x）}{x^3} = f'（0）$
答案：（B）
解析：
利用导数的定义，分子分母同时求导，并利用$f（0）=0$这一条件。
数值题解析
3. 设${u_n}$是数列，则下列命题正确的是：
（A）若$sum_{n=1}^{infty} u_n$收敛，则$sum_{n=1}^{infty} u_{2n-1} + u_{2n}$收敛。
（B）若$sum_{n=1}^{infty} u_{2n-1} + u_{2n}$收敛，则$sum_{n=1}^{infty} u_n$收敛。
（C）若$sum_{n=1}^{infty} u_n$收敛，则$sum_{n=1}^{infty} u_{2n-1} - u_{2n}$收敛。
（D）若$sum_{n=1}^{infty} u_{2n-1} - u_{2n}$收敛，则$sum_{n=1}^{infty} u_n$收敛。
答案：（A）
解析：
对于交错级数，若原级数收敛，则部分和序列有界，从而部分和的交错级数也收敛。
总结
2011年考研数学三的真题难度相对较高，考查的知识面广，计算量大，正确率普遍不高。考生需要通过不断练习真题，查漏补缺，熟悉题型，培养良好的做题习惯。