分部积分法是一种用于计算两个函数乘积的不定积分的方法。其基本思想和关键步骤如下：
基本思想
分部积分法主要解决的是两个函数的乘积形式的积分，特别是当被积函数中含有反三角函数、对数函数或其他复杂函数时，这种方法尤为有用。其核心思想是将一个复杂的乘积转化为两个较简单的函数的和或差的形式，从而简化积分过程。
关键步骤
选取合适的函数：在进行分部积分时，需要选取两个函数 $u（x）$ 和 $dv$，使得积分 $int u（x） , dv$ 可以简化。通常选择 $u（x）$ 使其导数 $u'（x）$ 较简单，而 $dv$ 使其积分 $v（x）$ 较简单。
应用公式：分部积分法的公式为：
$$
int u（x） , dv = u（x） , v（x） - int v（x） , u'（x） , dx
$$
计算：按照公式进行计算，先计算 $u（x） , v（x）$，再计算 $int v（x） , u'（x） , dx$，最后将两部分相减得到结果。
示例
设 $u（x） = ln x$，$dv = x , dx$，则 $du = frac{1}{x} , dx$，$v（x） = frac{x^2}{2}$。
应用分部积分法：
$$
int ln x , x , dx = ln x cdot frac{x^2}{2} - int frac{x^2}{2} cdot frac{1}{x} , dx
$$
$$
= frac{x^2 ln x}{2} - int frac{x}{2} , dx
$$
$$
= frac{x^2 ln x}{2} - frac{x^2}{4} + C
$$
总结
分部积分法通过将复杂的乘积函数转化为简单的函数组合，使得积分过程得以简化。在实际应用中，选取合适的函数进行分部积分是解题的关键。通过不断练习和总结，可以更加熟练地运用这种方法解决各种积分问题。