2005年全国硕士研究生入学考试数学三真题解析如下：
填空题解析
1. 极限问题
```
lim x->∞ x sin x = 2x + 1
```
分析：直接使用极限的性质和三角函数的极限进行计算。
2. 微分方程问题
```
xy' + y = 0
```
满足初始条件 `y（1） = 2` 的特解为 `y = 2/x`。
3. 二元函数问题
```
设二元函数 z = x e^y （x > 0, y ∈ R）
```
则 `dz/dx = e^y + x e^y dy/dx`。
4. 行向量组问题
```
设行向量组 a1 = （1, 2, 3, 4）, a2 = （2, 3, 4, 5）, a3 = （3, 4, 5, 6）, a4 = （4, 5, 6, 7）
```
线性相关，且 `a1 + a2 + a3 + a4 = 0`，则 `a = -2`。
5. 随机试验问题
```
从数 1, 2, 3, 4 中任取一个数，记为 X，再从中任取一个数，记为 Y
```
则 `E（XY） = 1*1 + 1*2 + 2*3 + 2*4 + 3*1 + 3*2 + 4*3 + 4*4 = 30`。
6. 二维随机变量问题
```
设二维随机变量 （X, Y） 的概率分布为
X Y
0 0.4
1 0.1
```
已知随机事件 `A = {X=0}` 与 `B = {Y=1}` 相互独立，则 `P（A） = 0.4`, `P（B） = 0.1`。
选择题解析
1. 函数零点问题
```
当 a 取下列哪个值时，函数 f（x） = x^2 - 4x + a 恰好有两个不同的零点
```
分析：求函数的导数，找到极值点，判断零点个数。
2. 收敛发散问题
```
设数列 {an} 为 a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/4, ...
```
分析：判断数列的收敛性。
3. 函数极值问题
```
设函数 f（x） = x^3 - 3x^2 + 2x
```
分析：求导数，判断极值点。
4. 函数有界性问题
```
若函数 f（x） 在区间 （0, 1） 内连续
```
分析：判断函数在区间内的有界性。
以上为2005年考研数学（三）的部分真题解析。