欧拉方程是数学一考试中的一个知识点，通常不会作为主要的考查内容，其考频较低，难度也不是特别大。不过，掌握欧拉方程的解法对于考研的学生来说仍然是必要的。以下是欧拉方程的基本解法和考试时可能涉及的要点：
欧拉方程的基本解法
变量代换
令 （ x = e^t ），则 （ y' = frac{dy}{dx} = frac{dy}{dt} cdot frac{dt}{dx} = y' cdot e^t ）。
对于二阶欧拉方程，通过适当的变量代换可以将其化为常系数的线性微分方程。
特征方程法
将欧拉方程转化为特征方程的形式，然后求解特征方程得到通解。
考试要点
理解欧拉方程的定义：
欧拉方程是未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的幂次数相等的微分方程。
掌握变量代换技巧：
通过 （ x = e^t ） 进行代换，简化方程求解过程。
熟悉解的结构：
欧拉方程的解通常包含指数函数和多项式函数的线性组合。
示例
考虑以下二阶欧拉方程：
$$x^2y'' + xy' - 6y = 0$$
通过令 （ x = e^t ），我们有：
$$y' = y' cdot e^t$$
$$y'' = y'' cdot e^{2t}$$
代入原方程得：
$$e^{2t}（y'' cdot e^{2t} + y' cdot e^t） - 6y = 0$$
$$y'' + y' - 6y = 0$$
这是一个常系数的线性微分方程，可以用特征方程法求解。
总结
欧拉方程在考研数学一中的考查可能涉及对定义的理解、变量代换技巧的掌握以及解的结构。虽然考频不高，但掌握这些知识点对于数学一的整体成绩仍然有帮助。