数学老师考研时面临的难题主要包括以下几个方面：
函数、极限与连续
求分段函数的复合函数
求极限或已知极限确定原式中的常数
讨论函数的连续性，判断间断点的类型
无穷小阶的比较
讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根
一元函数微分学
求给定函数的导数与微分（包括高阶导数）
隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论
利用洛比达法则求不定式极限
讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式
利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题
一元函数积分学
计算不定积分、定积分及广义积分
关于变上限积分的题：如求导、求极限等
有关积分中值定理和积分性质的证明题
定积分应用题：计算面积、旋转体体积、平面曲线弧长、旋转面面积、压力、引力、变力作功等
向量代数和空间解析几何
向量代数的基本概念和运算
空间解析几何中的点、线、面、体的性质和关系
向量场和流形的描述及其性质
复变函数与积分变换
复数、复变函数、解析函数、共形映射、拉普拉斯变换、傅里叶变换等概念的理解
留数法、变量代换、积分路径变形等计算技巧
高等数学中的积分问题
定积分的计算及其背后的几何意义
定积分在物理、力学等实际应用中的问题
线性代数
矩阵的特征值和特征向量的求解
矩阵分解及线性变换
线性方程组的解法
概率统计
概率论中的随机变量及其分布
统计推断中的假设检验和置信区间
学科交叉融合
利用线性代数的矩阵变换求解概率论中的复杂随机变量问题
结合物理力学中的运动方程求解微分方程
这些难题的解决需要考生具备扎实的数学基础、深刻的理解能力和灵活的解题技巧。通过大量的练习和对经典题型的深入分析，可以有效地提高解题能力和应对考研挑战的能力。