在考研数学中，一些常用的反例有助于加深对概念和定理的理解。以下是一些常见的高数反例：
狄利克雷函数
狄利克雷函数是一个经典的例子，用于说明函数在某点连续，但在其邻域内不一定连续，以及在某点可导，但在其邻域内不一定连续。
震荡函数
例如，函数 （f（x） = sin（frac{1}{x}））（当 （x
eq 0））在 （x = 0） 处没有定义，但在整个实数范围内是有界的，并且其导数在 （x = 0） 处不存在。
偏导数连续性与可微性的关系
有些函数在全平面内可微，但在某一点（如原点）不连续，或者在该点偏导数存在但不可微。例如，函数 （f（x, y） = begin{cases}
frac{xy}{x^2 + y^2}, & （x, y）
eq （0, 0）
0, & （x, y） = （0, 0）
end{cases}） 在整个平面上可微，但在原点不连续。
可微与方向导数的关系
有些函数在某一点可微，但沿不同方向的方向导数存在且不同。例如，函数 （f（x, y） = |x| + |y|） 在原点可微，但沿 （x） 轴和 （y） 轴的方向导数分别为 -1 和 1。
连续性与极限的关系
有些函数在某点连续，但在该点的某个邻域内极限不存在。例如，函数 （f（x） = begin{cases}
1, & x = 0
0, & x
eq 0
end{cases}） 在 （x = 0） 处连续，但在 （x = 0） 的任意邻域内极限不存在。
有界性与极限的关系
有些函数在有界区域内极限存在，但在整个定义域内无界。例如，函数 （f（x） = x） 在整个实数范围内无界，但在任何有限区间内的极限都是有限的。
这些反例在考研数学中非常有用，因为它们可以帮助学生理解数学概念和定理的边界条件和特殊情况，从而更全面地掌握知识点。建议学生在学习过程中多做这类反例的练习，以加深对概念的理解。